حل تمرین صفحه 67 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: **الف) $ \frac{۳^{-۵} \times ۱۰^{-۵} \times ۲۵}{۴^{-۵} \times ۱۵^{-۵}} $** * با استفاده از قانون $a^n \times b^n = (ab)^n$ صورت و مخرج را ساده می‌کنیم: $ \frac{(۳ \times ۱۰)^{-۵} \times ۲۵}{(۴ \times ۱۵)^{-۵}} = \frac{۳۰^{-۵} \times ۲۵}{۶۰^{-۵}} $ * با استفاده از قانون $ \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n $ کسر را ساده می‌کنیم: $ (\frac{۳۰}{۶۰})^{-۵} \times ۲۵ = (\frac{۱}{۲})^{-۵} \times ۲۵ $ * با استفاده از قوانین توان منفی و محاسبه: $ (۲)^۵ \times ۲۵ = ۳۲ \times ۲۵ = ۸۰۰ $ **ب) $ \frac{۸^{-۱} \times ۴^۲}{۲^{-۴} \times \frac{۱}{۸}} $** * تمام اعداد را به صورت توانی از پایه‌ی مشترک ۲ می‌نویسیم: $ ۸ = ۲^۳ $, $ ۴ = ۲^۲ $, $ \frac{۱}{۸} = ۲^{-۳} $ * عبارت را بازنویسی می‌کنیم: $ \frac{(۲^۳)^{-۱} \times (۲^۲)^۲}{۲^{-۴} \times ۲^{-۳}} = \frac{۲^{-۳} \times ۲^۴}{۲^{-۷}} $ * صورت را ساده می‌کنیم: $ \frac{۲^{-۳+۴}}{۲^{-۷}} = \frac{۲^۱}{۲^{-۷}} $ * با استفاده از قانون تقسیم، توان‌ها را کم می‌کنیم: $ ۲^{۱ - (-۷)} = ۲^{۱+۷} = ۲^۸ = ۲۵۶ $

پاسخ تشریحی: * **$ ۵/۹ \times ۱۰^{-۱} = ۰/۵۹ $ (درست)** * توان $ -۱ $ ممیز را یک رقم به چپ حرکت می‌دهد. * **$ ۱/۰۲ \times ۱۰^{-۵} = ۰/۰۰۰۰۰۱۰۲ $ (نادرست)** * **صحیح:** $ ۱/۰۲ \times ۱۰^{-۵} = ۰.۰۰۰۰۱۰۲ $ (ممیز باید ۵ رقم به چپ برود). * **$ ۷/۰۰۴ \times ۱۰^{-۲} = ۰/۰۷۰۰۴ $ (درست)** * توان $ -۲ $ ممیز را دو رقم به چپ حرکت می‌دهد. * **$ ۴/۳ \times ۱۰^۳ = ۴۳۰۰ $ (درست)** * توان $ ۳ $ ممیز را سه رقم به راست حرکت می‌دهد. * **$ ۸/۲۵۷۰ \times ۱۰^۴ = ۸۲۵۷۰ $ (درست)** * توان $ ۴ $ ممیز را چهار رقم به راست حرکت می‌دهد. * **$ ۶/۱۸ \times ۱۰^۷ = ۶۱۸۰۰۰۰۰ $ (درست)** * توان $ ۷ $ ممیز را هفت رقم به راست حرکت می‌دهد.

پاسخ تشریحی: نماد علمی یک عدد به صورت $ a \times ۱۰^n $ است که در آن $ ۱ \leq |a| < ۱۰ $. ۱. **عدد اصلی:** $ ۶۹۵,۰۰۰ $ ۲. **پیدا کردن a:** ممیز اعشار را (که در انتهای عدد قرار دارد) به سمت چپ حرکت می‌دهیم تا بعد از اولین رقم غیرصفر (یعنی ۶) قرار گیرد. پس $ a = ۶.۹۵ $. ۳. **پیدا کردن n:** برای رسیدن از $۶۹۵,۰۰۰$ به $۶.۹۵$، ممیز را **۵ رقم** به چپ جابجا کردیم. حرکت به چپ به معنای توان **مثبت** است. **پاسخ:** $ ۶.۹۵ \times ۱۰^۵ $ کیلومتر

پاسخ تشریحی: نماد علمی یک عدد به صورت $ a \times ۱۰^n $ است که در آن $ ۱ \leq |a| < ۱۰ $. ۱. **عدد اصلی:** $ ۰.۰۰۰۰۰۵ $ ۲. **پیدا کردن a:** ممیز اعشار را به سمت راست حرکت می‌دهیم تا بعد از اولین رقم غیرصفر (یعنی ۵) قرار گیرد. پس $ a = ۵ $. ۳. **پیدا کردن n:** برای رسیدن از $۰.۰۰۰۰۰۵$ به $۵$， ممیز را **۶ رقم** به راست جابجا کردیم. حرکت به راست به معنای توان **منفی** است. **پاسخ:** $ ۵ \times ۱۰^{-۶} $ متر

پاسخ تشریحی: برای پیدا کردن اینکه قطر خورشید چند برابر قطر زمین است، باید این دو مقدار را بر هم تقسیم کنیم: $ \text{نسبت} = \frac{\text{قطر خورشید}}{\text{قطر زمین}} = \frac{۱.۴ \times ۱۰^۹}{۱.۳ \times ۱۰^۷} $ برای سادگی، ضرایب و توان‌های ۱۰ را جداگانه محاسبه می‌کنیم: * **تقسیم ضرایب:** $ \frac{۱.۴}{۱.۳} \approx ۱.۰۷۷ $ * **تقسیم توان‌ها:** $ \frac{۱۰^۹}{۱۰^۷} = ۱۰^{۹-۷} = ۱۰^۲ = ۱۰۰ $ حالا نتایج را در هم ضرب می‌کنیم: $ \text{نسبت} \approx ۱.۰۷۷ \times ۱۰۰ = ۱۰۷.۷ $ **نتیجه:** قطر خورشید تقریباً **۱۰۸ برابر** قطر زمین است.

پاسخ تشریحی: * **$ (۲ \times ۱۰^{-۷}) \times (۴ \times ۱۰^۹) $** ۱. ضرایب را در هم و توان‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: $ (۲ \times ۴) \times (۱۰^{-۷} \times ۱۰^۹) $ ۲. حاصل: $ ۸ \times ۱۰^{-۷+۹} = ۸ \times ۱۰^۲ $ ۳. چون $ ۱ \leq ۸ < ۱۰ $ است، این عدد در حالت نماد علمی استاندارد قرار دارد. **پاسخ:** $ ۸ \times ۱۰^۲ $ * **$ \frac{۱۲.۵ \times ۱۰^{-۴}}{۲۵ \times ۱۰^{-۱۹}} $** ۱. ضرایب را بر هم و توان‌ها را بر هم تقسیم می‌کنیم: $ (\frac{۱۲.۵}{۲۵}) \times (\frac{۱۰^{-۴}}{۱۰^{-۱۹}}) $ ۲. حاصل: $ ۰.۵ \times ۱۰^{-۴ - (-۱۹)} = ۰.۵ \times ۱۰^{۱۵} $ ۳. حاصل به دست آمده ($۰.۵ \times ۱۰^{۱۵}$) در حالت نماد علمی استاندارد نیست، زیرا $۰.۵ < ۱$. برای اصلاح آن، ضریب را به $۵$ تبدیل می‌کنیم: $ ۰.۵ = ۵ \times ۱۰^{-۱} $ $ (۵ \times ۱۰^{-۱}) \times ۱۰^{۱۵} = ۵ \times ۱۰^{-۱+۱۵} = ۵ \times ۱۰^{۱۴} $ **پاسخ:** $ ۵ \times ۱۰^{۱۴} $

پاسخ تشریحی: برای مقایسه‌ی دو عدد در نماد علمی، ابتدا **توان عدد ۱۰** را مقایسه می‌کنیم. هر عددی که توان ۱۰ کوچکتری داشته باشد، مقدارش کمتر است. * **فاصله‌ی مریخ:** $ ۹.۱۷ \times ۱۰^۷ $ کیلومتر (توان ۷) * **فاصله‌ی کیوان (زحل):** $ ۶.۲۸۷ \times ۱۰^۸ $ کیلومتر (توان ۸) چون توان فاصله‌ی مریخ ($۷$) از توان فاصله‌ی کیوان ($۸$) کوچکتر است، پس فاصله‌ی مریخ از زمین کمتر است. **نتیجه:** **مریخ** به زمین نزدیک‌تر است.

پاسخ تشریحی: * **$ ۰.۰۳ \times ۱۰^{\bigcirc} > ۰.۰۲ $** ۱. طرفین را بر $۰.۰۳$ تقسیم می‌کنیم: $ ۱۰^{\bigcirc} > \frac{۰.۰۲}{۰.۰۳} = \frac{۲}{۳} $ ۲. باید توان‌هایی از ۱۰ را پیدا کنیم که از $ \frac{۲}{۳} $ (حدود ۰.۶۷) بزرگتر باشند. ۳. $۱۰^۰=۱$, $۱۰^۱=۱۰$, $۱۰^۲=۱۰۰$. همگی بزرگتر از $ \frac{۲}{۳} $ هستند. **پاسخ:** اعداد صحیح **۰, ۱, ۲** (و هر عدد صحیح بزرگتر از صفر). * **$ ۲.۷ \times ۱۰^{\bigcirc} > ۰.۰۲ $** ۱. طرفین را بر $۲.۷$ تقسیم می‌کنیم: $ ۱۰^{\bigcirc} > \frac{۰.۰۲}{۲.۷} = \frac{۲}{۲۷۰} = \frac{۱}{۱۳۵} $ ۲. باید توان‌هایی از ۱۰ را پیدا کنیم که از $ \frac{۱}{۱۳۵} $ (حدود ۰.۰۰۷۴) بزرگتر باشند. ۳. $۱۰^۰=۱$, $۱۰^{-۱}=۰.۱$, $۱۰^{-۲}=۰.۰۱$. همگی بزرگتر از $ \frac{۱}{۱۳۵} $ هستند. (اما $۱۰^{-۳}=۰.۰۰۱$ کوچکتر است). **پاسخ:** اعداد صحیح **-۲, -۱, ۰** (و هر عدد صحیح بزرگتر از ۲-).

پاسخ تشریحی: برای مرتب کردن اعداد در نماد علمی، از روش زیر استفاده می‌کنیم: ۱. ابتدا اعداد را بر اساس **توان ۱۰** مرتب می‌کنیم. توان کوچکتر، عدد کوچکتر را نشان می‌دهد. ۲. اگر توان‌ها برابر بودند، **ضرایب** آنها را مقایسه می‌کنیم. اعداد داده شده: * A) $ ۱.۵ \times ۱۰^{-۲} $ (توان: -۲) * B) $ ۱.۲ \times ۱۰^۶ $ (توان: ۶) * C) $ ۵.۳۵ \times ۱۰^{-۳} $ (توان: -۳) * D) $ ۳.۷ \times ۱۰^{-۲} $ (توان: -۲) **مرتب‌سازی:** * کوچکترین توان، $ -۳ $ است. پس کوچکترین عدد $ ۵.۳۵ \times ۱۰^{-۳} $ می‌باشد. * بعد از آن، دو عدد با توان $ -۲ $ داریم. باید ضرایب آنها را مقایسه کنیم: $ ۱.۵ < ۳.۷ $. پس $ ۱.۵ \times ۱۰^{-۲} $ کوچکتر از $ ۳.۷ \times ۱۰^{-۲} $ است. * بزرگترین توان، $ ۶ $ است. پس بزرگترین عدد $ ۱.۲ \times ۱۰^۶ $ می‌باشد. **ترتیب نهایی از کوچک به بزرگ:** $ ۵.۳۵ \times ۱۰^{-۳} < ۱.۵ \times ۱۰^{-۲} < ۳.۷ \times ۱۰^{-۲} < ۱.۲ \times ۱۰^۶ $